2021 天津 P20

Question

已知函数 $f(x) = ax - xe^x (a \in R, a > 0)$

(2) 证明: $f(x)$ 存在唯一极值点.

(3) 若 $b \in R$, 且 $\exists a$ , $\forall x$, $f(x) \le a + b$, 求 $b$ 的取值范围.

(2) $f’(x) = a - e^x(x + 1)$ .

设 $g(x) = a - e^x(x + 1)$ , 则 $g’(x) = -e^x(x + 2)$ .

$x \in (-\infty , -2)$ , $g’(x) > 0$ , $g(x)$ 单调递增;

$x \in (-2, +\infty)$ , $g’(x) < 0$ , $g(x)$ 单调递减.

则 $g(x) \le g(-2) = a + \frac{1}{e^2} > 0$ .

而 $x \rightarrow -\infty$ , $g(x) \rightarrow a$ , $a > 0$ ;

$x \rightarrow +\infty$ , $g(x) \rightarrow -\infty$ ;

因此 $g(x)$ 有唯一零点 , 即 $f(x)$ 有唯一极值点.

(3) 首先我们转化一下条件, $\exists a$, $\forall x$, $f(x) - a \le b$ .

也就是对于函数 $h(x) = f(x) - a$ ,

先找出 $h(x)$ 的最大值, 其必定是一个只含参数 $a$ 的式子, 记之为 $\varphi(a)$;

再找出 $\varphi(a)$ 的最小值, 令 $b$ 大于等于这个最小值即可.

这样, 我们进行了一波游刃有余的操作, 成功将原命题拆解.

那么开始干吧！

首先, 显然 $h(x)$ 与 $f(x)$ 的单调性一致, 而由(2)知, $f(x)$ 有唯一极大值点.

那么 $h(x)$ 一样有唯一极大值点, 设这个极大值点为 $x_0$ , 则 $a - e^{x_0}(x_0 +1) = 0$, 即 $a = e^{x_0}(x_0 + 1)$ $(*)$.

那么 $h(x)$ 的最大值 $\varphi(a) = ax_0 - x_0e^{x_0} - 2a$ .

这时, 一般的思路是**将 $x_0$ 全部转化成 $a$ **, 但在这道题中似乎做不到.

但是, 别忘了我们通过隐零点的思想, 建立了 $a$ 和 $x_0$ 的等量关系, 即 $(*)$ 式.

虽然借助 $(*)$ 式将上式中的 $x_0$ 全部转化成 $a$ 很难;

但是, “进不入以离尤兮, 退将复修吾初服” , 我们发现将 $a$ 全部转化成 $x_0$ 很容易.

那我们不妨就将 $a$ 全部转化成 $x_0$ , 将上式化成一个只含 $x_0$ 的式子 $t(x_0)$ , 求出其最小值, 一样可以达成我们的目的.

就这样, 我们得到了 $t(x_0) = ax_0 - x_0e^{x_0} - 2a = e^{x_0}(x_0^2-x_0-1)$ .

$t’(x_0) = e^{x_0}(x_0^2+x_0-2) = e^{x_0}(x_0 + 2)(x_0 - 1)$ .

则 $t(x_0) \ge t(1) = -e$ .

所以 $b \ge -e$ , 此题结束.