北京大学2024强基计划

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，$BC$ 边上的高为 $\frac{a}{3}$ ，求 $\frac{(b + c)^2}{bc}$ 的取值范围.

首先有 $\frac{(b + c)^2}{bc} = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + 2 \geq 4$ ，当且仅当 $b = c$ 时取等.

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{3} = \frac{1}{2} bc \sin{A}$

又有 $b^2 + c^2 = a^2 + 2bc\cos{A}$

故 $b^2 + c^2 = 2bc\cos{A} + 3bc\sin{A}$

所以

\begin{align}\frac{(b+c)^2}{bc} = \frac{b^2 + c^2}{bc} + 2 \\ = 2\cos{A} + 3\sin{A} + 2 \\ = \sqrt{13} \sin(A-\varphi) + 2 (\tan{\varphi} = \frac{2}{3}) \\ \leq 2 + \sqrt{13} \end{align} ,

当且仅当 $A + \varphi = \frac{\pi}{2}$, 即 $\cos{A} = \frac{2}{\sqrt{13}} $ 时取等.

故 $\frac{(b+c)^2}{bc}$ 的取值范围为 $[4, 2+\sqrt13]$ .